Integral

Pengertian Integral
Integral yang biasa disebut juga “hitung integral” atau “kalkulus integral” dapat digunakan untuk mencari luas suatu daerah. Dalam kalkulus integral dapat diartikan sebagai operasi invers dari turunan disebut juga anti turunan atau anti diferensial. Integral dilambangkan oleh “ʃ” yang merupakan lambang untuk menyatakan kembali F(x) dari F’(x).

Suatu fungsi F disebut anti turunan dari suatu fungsi f pada selang I, jika untuk setiap nilai x di dalam I, berlaku F’(x) = f(fx).

Berdasarkan pengertian bahwa integral adalah invers dari operasi pendiferensialan, maka dapat disimpulkan sebagai berikut.

Apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat di diferensialkan pada interval I, sedemikian sehingga  , maka anti turunan dari f(x adalah F(x) + C dengan C konstanta sembarang.

Jenis-Jenis Integral
Integral Tak Tentu
Antipendiferensialan adalah operasi untuk mendapatkan himpunan semua antiturunan dari suatu fungsi yang diberikan. Secara umum, integral tak tentu dari f(x) didefinisikan sebagai berikut.
ʃ f(x)dx = F(x) + C

Keterangan :
 ʃ =  operasi antiturunan atau lambang integral
 C =  konstanta integrasi
 f(x) =  fungsi integran, fungsi yang akan dicari anti turunannya
F(x) =  fungsi hasil integral

Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar
Rumus-rumus integral tak tentu fungsi Aljabar :
ʃ dx = x + c
ʃ  a dx = ax + c
ʃ axn dx =  xn+1 + C, C ≠ 1
ʃ a f(x) dx = a ʃ f(x) dx
ʃ [ f(x) ± g(x) ] dx = ʃ f(x) dx ± g(x) dx

Contoh :
ʃ 2x dx
ʃ 2x dx =  x1+1 + c
ʃ (4x + 6 ) dx
ʃ (4x + 6 ) dx = ʃ 4x dx + ʃ 6x dx
2x2 + 6x + C

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri
Rumus-rumus integral tak tentu fungsi trigonometri :
ʃ cos x dx = sin x + c
ʃ sin x dx = - cos x + c
ʃ tan x dx = - ln ǀcos xǀ + c
ʃ cos (ax + b) dx =  sin (ax + b) + c
ʃ sin (ax + b) dx = -   cos (ax + b) + c

Contoh :
ʃ (3 sin x) dx
ʃ (3 sin x) dx = - 3 cos x + c
ʃ (x + tan x) dx
ʃ (x + tan x) dx =  x2 + ln ǀsec xǀ + c

Integral Tertentu
Integral tertentu adalah integral yang memiliki batas. Jika f suatu fungsi yang didefinsikan pad selang tutup (a,b) maka integral tentu (integral Riemann) dari f dari a sampai b dinyatakan oleh :  Jika limit itu ada, dengan f(x) disebut integran, a disebut batas bawah, b disebut batas atas, dan  disebut tanda integral tentu.
Berikut sifat-sifat integral tertentu  :
 f (x) dx  = 0
 f (x) dx = -  f (x) dx
 k dx = k (b - a)
 k f(x) dx = k   f (x) dx
 [f (x) ± g (x)] dx =  f (x) dx ±  g (x) dx
 f (x) dx =  f (x) dx +   f (x) dx; a<b<c
f (x) dx   g (x) dx; jika f (x) dx ≥ g (x) dx
  f (x) dx ≥ 0, jika f (x) ≥ 0

Cara Menghitung Integral
Cara Subtitusi
Cara subtitusi pada integral dilakukan apabila satu bentuk integral tidak dapat langsung diselesaikan dengan menggunakan rumus-rumus dasar integral. Integral bentuk ini terlebih dahulu diubah menjadi bentuk integral yang dapat diselesaikan dengan rumus integral, yaitu dengan cara mensubtitusikan variabel baru, yaitu dengan mensubtitusikan u = f (x).

ʃ f(x)n d[f(x)] = ʃ  un du =  un-1 + c, dengan n ≠ 1

Contoh :
Tentukan integral dari ʃ 6x2 (2x3 - 4)2 dx
Misal u = 2x3 – 4 → du = 6x2 dx
         dx =
Sehingga, ʃ 6x2 (2x3 - 4)2 dx = 6x2u4
          = u2 du =   u5 =   (2x3 - 4)5 + c
Cara Parsial
Cara parsial digunakan apabila bentuk suatu integral tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus-rumus dasar integral dan dengan cara subtitusi. Menghitung integral parsial didefinisikan sebagai berikut.

ʃ u dv = uv - ʃ v du

Contoh :
Tentukanlah ʃ x
Misal u = x → du = dx
dv =   →  v = ʃ  dx
     = ʃ (2 + x)1/2 d(2 + x)
     =  (2 + x)3/2 + c
Sehingga, ʃ x = x •  (2 + x)3/2 - ʃ   (2 + x)3/2 dx
    = x (2 + x) - ʃ   (2 + x) d(2 + x)
    = x (2 + x) -  •  (2 + x)5/2 + c
    = x (2 + x) 3/2 -  (2 + x)5/2 + c

Aplikasi Integral dalam Kehidupan
EKONOMI
Operasi hitung integral dapat diterapkan dalam persoalan ekonomi, misalnya dalam integral tak tentu digunakan menghitung fungsi total, dan dalam integral tertentu digunakan untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen.
Jika diketahui fungsi demand dan supply suatu barang, operasi hitung integral dapat dipakai untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen pada saat market equilibriumatau pada tingkat harga tertentu.
Surplus Konsumen
Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih tinggi (mahal) dari harga equilibrium P0 akan memperoleh kelebihan (surplus) untuk tiap unit barang yang dibeli dengan harga P0. Pada saat equilibrium, jumlah total pengeluaran (total expenditure) konsumen = P0.X0 yang dalam gambar ini adalah luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan konsumen yang tadinya bersedia membeli barang ini lebih tinggi dari harga P0 akan menyediakan uang yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva demand yang sumbu tegak P, sumbu mendatar X, dan garis ordinat x = x0 (yakni = luas daerah 0ABF).
 Karena itu, besarnya surplus konsumen yakni selisih antara jumlah uang yang disediakan dikurangi dengan jumlah pengeluaran nyata konsumen sehingga surplus konsumen dapat dinyatakan sebagai berikut:



Jika dari fungsi demand p = f(x) maka hasil dari 0ʃaf(x).dx adalah jumlah uang yang disediakan.
Surplus Produsen
Surplus produsen adalah selisih antara hasil penjualan barang dengan jumlah penerimaan yang direncanakan produsen dalam penjualan sejumlah barang. Pada saat harga terjadi price equilibrium P0 maka penjual barang yang bersedia menjual barang ini dibawah harga po akan memperoleh kelebihan harga jual untuk tiap unit barang yang terjual yakni selisih antara po dengan harga kurang dari po.
Sedangkan, pada saat equilibrium, penjual barang ini akan menerima hasil penjualan barang sejumlah P0 . X0 yang dalam gambar adalah luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan sebenarnya penjual barang ini bersedia menerima sejumlah uang yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva supply dengan sumbu P, sumbu X dan garis ordinat x = xo (yakni luas daerah 0ABE), maka penjual barang ini akan memperoleh surplus produsen (penjual) sebanyak berikut ini:



TEKNOLOGI
Penggunaan laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu.
Penggunaan kecepatan pesawat ulang alik Endeavour untuk menentukan ketinggian maksimum yang dicapai pada waktu tertentu.

Memecahkan persoaalan yang berkaitan dengan volume, paanjang kurva, perkiraan populasi, keluaran kardiak, gaya pada bendungan, usaha, surplus konsumen.