Ruang dan vektor

1. Ruang Vektor Real
   1. Definisi

Misalkan  adalah himpunan yang di lengkapi dengan operasi penjumlahan  dan perkalian dengan skalar(dalam hal ini skalar adalah bilangan riil).   disebut Ruang Vektor,  jika memenuhi sepuluh aksioma yang ada.

1. Aksioma

Sepuluh aksioma yang ada:

1. Untuk setiap berlaku  (tertutup penjumlahan)
2. Untuk setiap berlaku   (komulatif)
3. Untuk setiap berlaku   (asosiatif)
4. Ada dan berlaku, untuk setiap  (anggota identitas penjumlahan)
5. Untuk setiap , ada dan berlaku  (anggota invers penjumlahan)
6. Untuk setiap dan setiap, berlaku  (tertutup perkalian skalar)
7. Untuk setiap  dan setiap  berlaku (distributif perkalian dengan skalar)
8.  Untuk setiap  dan setiap  berlaku (distributif skalar)
9. Untuk setiap  dan setiap  berlaku  (asosiatif  perkalian dengan skalar)
10. Untuk setiap   berlaku (perkalian dengan skalar 1).

Anggota ruang vektor disebut vektor.

1. Sifat sifat Ruang Vektor :

Jika  adalah suatu ruang vektor dan  adalah suatu vektor dalam , serta  adalah suatu skalar, maka:

4. Jika , maka , atau

1. Sub Ruang
   1. Definisi

Suatu sub himpunan  dari ruang vektor  disebut sub ruang dari  jika  itu sendiri merupakan suatu ruang vektor dibawah penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada .

1. Teorema
   1. Jika  adalah suatu himpunan yang terdiri atas satu atau lebih vektor dari suatu ruang vektor  maka  adalah suatu sub ruang jika dan hanya jika syarat berikut terpenuhi

Jika  dan  adalah vektor-vektor pada  maka  berada pada .
Jika  adakah skalar sebarang dan  adalah vektor sebarang pada  maka  berada pada .

1. Jika  adalah suatu sistem liner homogen yang terdiri dari  persamaan dengan  faktor yang tidak diketahui, maka himpunan vektor solusi adalah suatu subruang dari .
2.  Jika  adalah vektor-vektor pada suatu ruang vektor , Maka himpunan  yang terdiri dari semua kombinasi linier  adalah suatu sub ruang dari .
   adalah sub ruang terkecil dari  yang mengandung dalam arti bahwa setiap sub ruang lain dalam  yang mengandung  pasti mengandung .
3. Jika  dan  adalah dua himpunan vektor –vektor pada suatu ruang vektor  maka rentang rentang jika dan hanya jika setiap vektor pada  adalah suatu kombinasi linier dari vektor-vektor pada  dan setiap vektor pada  adalah suatu kombinasi linier dari vektor-vektor pada .
4. Kebebasan Linear
   1. Definisi

Jika  adalah himpunan tak kosong vektor-vektor, maka persamaan vektor

Memiliki paling tidak satu solusi, yaitu

jika ini satu-satunya solusi, maka  disebut sebagai himpunan bebas linier (linierly Independent). Jika terdapat solusi-solusi lain, maka  disebut sebagai himpunan tidak bebas linier (linierly dependent)

1. Teorema
   1. Suatu hipunan  dengan dua atau lebih vektor adalah: Tidak bebas linier jika dan hanya jika paling tidak salah satu dari vektor pada  dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor lain pada .
      Bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor pada  yang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor lain pada .
   2. Suatu himpunan terhingga vektor-vektor yang mengandung vektor nol adalah tidak bebas linier. Suatu himpunan dengan tepat dua vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika tidak satupun dari vektornya merupakan kelipatan skalar dari vektor lainnya.
   3. Misalkan  adalah suatu himpunan vektor-vektor pada  . Jika , maka  tidak bebas linier.
   4. Jika fungsi  memiliki  turunan kontinu pada interval  dan jika wronskian dari fungsi-fungsi ini tidak identik dengan nol pada , maka fungsi-fungsi ini membentuk suatu himpunan bebas linier pada .
2. Basis dan Dimensi
   1. Definisi

Jika  adalah suatu ruang vektor sebarang dan  adalah suatu himpunan vektor-vektor pada , maka  disebut basis untuk  jika dua syarat berikut berlaku:

1.  bebas Linier
2.  merentang
3. Teorema
   1.  Keunikan Reprentasi Basis. Jika  adalah suatu basis dari ruang Vektor , maka setiap vektor  pada  dapat dinyatakan dalam bentuk  dengan tepat satu cara.
   2.  Misalkan  adalah suatu ruang berdimensi terhingga dan adalah baris sebarang.

• Jika suatu bidang himpunan mempunyai vektor lebih dari , maka vektor tersebut bersifat tidak bebas linier
•  Jika suatu himpunan memiliki vektor kurang dari , maka himpunan tersebut bersifat tidak merentang

1. Semua basis untuk ruang vektor berdimensi terhingga memiliki jumlah vektor yang sama
2. Teorema plus/minus

Misalkan  adalah himpunan tak kosong vektor-vektor pada ruang vektor .

• Jika  adalah himpunan bebas linier dan jika  adalah suatu vektor pada  yang terletak di luar rentang , maka himpunan  yang diperoleh dengan menyisipkan  ke dalam  masih bersifat bebas linear.
• Jika  adalah suatu vektor pada  yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya pada , dan jika  menotasikan himpunan yang diperoleh dengan mengeluarkan  dari , maka  dan  merentang ruang yang sama; yaitu

1. Jika  adalah suatu ruang berdimensi , dan jika  adalah suatu himpunan pada  dengan tepat  vektor, maka  adalah basis untuk  jika salah satu dari hal berikut berlaku,  merentang  atau  bebas linier.
2. Misalkan  adalah suatu himpunan tehingga dari vektor-vektor pada suatu ruang vektor  berdimensi terhingga. Jika  merentang , tetapi bukan suatu basis untuk , maka  dapat direduks menjadi suatu basis untuk  dengan mengelurkan vektor-vektor yang sesuai dari .
   Jika  adalah suatu himpunan bebas linear yang belum merupakan basis untuk  maka  dapat diperbesar menjadi suatu basis untuk  dengan menisipkan vektor-vwktor yang sesuai kedalam .
3. Jika  adalah suatu subruang dari suatu sub ruang vektor  yang berdimensi terhingga, maka  Lebih lanjut jika dim , maka .